40-летний Клаудио не сумел договориться о новом контракте со своим последним клубом Чивас (американский Чивас, из MLS) и решил, что пора вешать бутсы на гвоздь. 

Император начал карьеру в 1988 году в Пумас. Затем играл за Гвадалахару и Тигрес, а в 37 лет подался в американскую лигу.

В чемпионатах Мексики на его счету 478 матчей и 45 голов. В MLS Суарес провел 59 поединков и забил 9 мячей.

Клаудио является абсолютным рекордсменом по количеству матчей за сборную Мексики. Выдающийся защитник провел за национальную команду 178 встреч.