Дробны было 32 года. На протяжении карьеры Вацлав выступал за Хмель, Страсбург, Астон Виллу, пражскую Спарту, Яблонец, Аугсбург, Спартак из Трнавы и пражский Богемианс.
 
Дробны был капитаном молодежной сборной Чехии на победном чемпионате Европы-2002. Правда, в финальном турнире в Швейцарии он из-за травмы провел всего два матча.
 
В 2004 году защитник сыграл два поединка за главную сборную Чехии, приняв участие в спаррингах с Японией и Италией. В кампании 2006/07 Дробны завоевал чемпионский титул в составе Спарты, после чего недолго поиграл в Богемианс и завершил карьеру, став популярным телекомментатором.